7.1. Обобщенный термодинамический подход (ОТП) как основа для построения математических моделей.

Математические модели делятся на детерминированные, стохастические и комбинированные:

Математические модели:

детерминированные                       стохастические

 комбинированные модели

Основные этапы построения математических моделей и рекомендуемые подходы их построения:

Рассмотрим этапы построения математических моделей:

Т – топология: на этом этапе находятся взаимозависимые входные и выходные величины ТП, т.е. Y=f(x,t).      

Рис.9.1. Статическая зависимость Y(x).

 1.  Y = kX

 k – коэффициент усиления или передачи,

 k>>0

 2.    Y = kX,  k→ 0.

 3.  Нелинейная зависимость

 k= varia, k= tg α

Это статистические характеристики объекта(рис.9.1), т.е. характеристики объекта в установившемся состоянии.

С – структура: это запись модели в математической форме (в виде алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений и т.д.).

П – параметры: связывание уже с параметрической формой записи уравнений (выявление параметров в количественном виде).

Рассмотрим методы построения математических моделей:

1. Статистический  метод -это построение математической модели с использованием статистических приемов на базе эксперимента.

2. Детерминированный метод основан на прямом использовании законов и явлений физики, химии и т.д.

3. Комбинированный метод включает статистический и детерминированный методы.

              Для построения детерминированных математических моделей в теории управления используется обобщенный термодинамический подход (ОТП).

Академик Петров Б.Н. развил ОТП в книге «Применение обобщенного термодинамического подхода при составлении моделей объектов управления».

Профессор Яковлев В.Б. (Санкт-Петербургский Государственный Электро-Технический Университет (ЛЭТИ))  развивал использование ОТП для построения моделей с сосредоточенными параметрами.

Профессор, д.т.н. Лисиенко В.Г. (Уральский Государственный Технический Университет – УПИ) развил ОТП для построения моделей с распределенными параметрами.

Методология ОТП заключается в приложении I и II законов термодинамики к любому объекту управления в обобщенной форме.

7.1 Основные постулаты ОТП:

1.     Для описания любых физических, химических, физико-химических, информационных и др. явлений наиболее представительным является применение основных законов термодинамики.

2.     I и II законы термодинамики:

- Закон сохранения энергии

- Закон переноса энергии

7.1.1    Закон сохранения энергии

        dQ = dA+dU.                                                                                   (7.1)

Теплота, переданная извне, расходуется на совершение работы и изменение внутренней энергии вещества.

Энтропийная форма:

S – энтропия – логарифм вероятности совершения какого-либо термодинамического события.

S = ln W,

S ≥  dQ/T,                                                                                                       (7.2)

где dQ – количество теплоты;

              T – абсолютная температура;   

         dQ = Td S;

    Td S = dA+dU – энтропийная форма I закона термодинамики.              (7.3)

7.1.2 Закон переноса энергии.

В изолированной системе теплота переходит от более нагретого тела к менее нагретому. В обратном направлении теплота может передаваться только при совершении работы.

dq = kF(T₂-T₁)dt  ,                                                                               (7.4)

где k – коэффициент теплопередачи;

     F – поверхность нагрева;

Обобщенный вид II закона термодинамики:

dq =  æФ dt  ,                                                                                           (7.5)

где q – обобщенный поток;

      æ – обобщенная проводимость;

     Ф – обобщенный потенциал или обобщенная сила.